Vés al contingut

Llista de grups petits

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

Aquest article mostra una llista matemàtica dels grups finits d'ordre baix (una cardinalitat de fins a 16 elements) classificats per isomorfisme de grups.

Amb aquesta llista es pot determinar a quin grup conegut és isomorf un grup finit G donat: Cerqueu primer l'ordre de G, seguidament cerqueu els candidats per aquell ordre a la llista. Si sabeu si G és o no és abelià potser podreu descartar alguns candidats. Per a distingir entre els candidats restants podeu mirar l'ordre dels elements de G i comparar-los amb els ordres dels elements dels candidats.

Terminologia

[modifica]

El signe d'igualtat "=" denota isomorfisme de grups.

La notació G × H indica el producte directe de dos grups; Gn indica el producte directe d'un grup amb ell mateix n vegades. vol dir el producte semidirecte on H actua sobre G; si l'acció particular de H sobre G s'omet és que totes les accions no trivials possibles donen el mateix grup producte llevat d'isomorfisme.

S'indiquen els que són grups abelians i els que són grups simples. (Per als grups d'ordre n < 60, els grups simples són exactament els grups cíclics Cn, per a n primer).

L'element neutre està representat per un cercle negre als grafs dels cicles. L'ordre més petit per al qual el graf no representa unívocament un grup és ordre 16.

A les llistes de subgrups, el grup trivial i el mateix grup no apareixen indicats. Als casos on hi ha múltiples subgrups isomorfs, el nombre d'aparicions s'indica entre parèntesis.

Llista de grups abelians petits

[modifica]

Els grups abelians finits es classifiquen fàcilment: són grups cíclics o els seus productes directes. El teorema xinès del residu ens pot ajudar a trobar els isomorfismes amb aquests productes directes. Els grups abelians finitament generats també es poden classificar. Vegeu més informació a l'article grup abelià.

Ordre Grup Subgrups Propietats Graf dels cicles
1 grup trivial = C1 = S1 = A - trivialment té propietats diverses
Graf dels cicles per al grup trivial
Graf dels cicles per al grup trivial
2 C₂ = S₂ = D1 - simple, el grup no trivial més petit
Graf dels cicles per al grup C2
Graf dels cicles per al grup C2
3 C₃ = A - simple
Graf dels cicles per al grup C3
Graf dels cicles per al grup C3
4 C₄ C₂   
Graf dels cicles per al grup C4
Graf dels cicles per al grup C4
Grup de Klein = C₂ × C₂ = D₂ C₂ (3) el grup no cíclic més petit
Graf dels cicles per al grup de Klein D2
Graf dels cicles per al grup de Klein D2
5 C₅ - simple
Graf dels cicles per al grup C5
Graf dels cicles per al grup C5
6 C₆ = C₃ × C₂ C₃, C₂  
Graf dels cicles per al grup C6
Graf dels cicles per al grup C6
7 C₇ - simple
Graf dels cicles per al grup C7
Graf dels cicles per al grup C7
8 C₈ C₄, C₂  
Graf dels cicles per al grup C8
Graf dels cicles per al grup C8
C₄ × C₂ C₂², C₄ (2), C₂ (3)  
Graf dels cicles per al grup C4 × C2
Graf dels cicles per al grup C4 × C2
C₂3 C₂² (7), C₂ (7)
Graf dels cicles per al grup C2^3
Graf dels cicles per al grup C2^3
9 C9 C₃  
C9
C9
C₃² C₃ (4)  
Graf dels cicles per al grup C3^2
Graf dels cicles per al grup C3^2
10 C10 = C₅ × C₂ C₅, C₂  
C10
C10
11 C11 - simple
C11
C11
12 C₁₂ = C₄ × C₃ C₆, C₄, C₃, C₂  
C12
C12
C₆ × C₂ = C₃ × C₂² C₆ (3), C₃, C₂ (3), C₂²  
Graf dels cicles per al grup C3 × C2^2
Graf dels cicles per al grup C3 × C2^2
13 C13 - simple
C13
C13
14 C14 = C₇ × C₂ C₇, C₂  
C14
C14
15 C15 = C₅ × C₃ C₅, C₃  
C15
C15
16 C16 C₈, C₄, C₂  
C16
C16
C₂4 C₂ (15), C₂² (35), C₂3 (15)  
Graf dels cicles per al grup C2^4
Graf dels cicles per al grup C2^4
C₄ × C₂² C₂ (7), C₄ (4), C₂² (7), C₂3, C₄ × C₂ (6)
Graf dels cicles per al grup C4 × C2^2
Graf dels cicles per al grup C4 × C2^2
C₈ × C₂ C₂ (3), C₄ (2), C₂², C₈ (2), C₄ × C₂  
Graf dels cicles per al grup C8 × C2
Graf dels cicles per al grup C8 × C2
C₄² C₂ (3), C₄ (6), C₂², C₄ × C₂ (3)  
Graf dels cicles per al grup C4^2
Graf dels cicles per al grup C4^2

Llista de grups no abelians petits

[modifica]
Ordre Grup Subgrups Propietats Graf dels cicles
6 S₃ = D₃ C₃, C₂ (3) el grup no abelià més petit
S3
S3
8 D₄ C₄, C₂² (2), C₂ (5)
D4
D4
Grup dels quaternions, Q₈ = Dic₂ C₄ (3), C₂ el grup hamiltonià més petit
Grup dels quaternions Q8
Grup dels quaternions Q8
10 D₅ C₅, C₂ (5)
D5
D5
12 D₆ = D₃ × C₂ C₆, D₃ (2), C₂² (3), C₃, C₂ (7)
D6
D6
A C₂², C₃ (4), C₂ (3) el grup més petit que demostra que un grup no ha de tenir forçosament un subgrup de cada ordre que divideix l'ordre del grup: no té cap subgrup d'ordre 6 (en contra del recíproc al teorema de Lagrange, com ja indiquen els teoremes de Sylow.)
A4
A4
Dic₃ = C₂, C₃, C₄ (3), C₆
Dic3
Dic3
14 D₇ C₇, C₂ (7)
D7
D7
16[1] D₈ C₈, D₄ (2), C₂² (4), C₄, C₂ (9)
D8
D8
D₄ × C₂ D₄ (2), C₄ × C₂, C₂3 (2), C₂² (11), C₄ (2), C₂ (11)
D4 × C2
D4 × C2
Grup generalitzat dels quaternions Q16 = Dic₄
Grup generalitzat dels quaternions Dic4
Grup generalitzat dels quaternions Dic4
Q₈ × C₂ grup hamiltonià
Q8 × C2
Q8 × C2
El grup quasidièdric d'ordre 16
Grup quasidièdric d'ordre 16
Grup quasidièdric d'ordre 16
El grup d'Iwasawa d'ordre 16
grup d'Iwasawa d'ordre 16
grup d'Iwasawa d'ordre 16
C4 ⋊ C4
C4 ⋊ C4
El grup generat per les matrius de Pauli
grup generat per les matrius de Pauli
grup generat per les matrius de Pauli
G4,4 =
C2^2 ⋊ C4
C2^2 ⋊ C4

Llibreria de grups petits

[modifica]

Els sistemes computacionals algebraics de teoria de grups GAP i Magma contenen la «Llibreria de grups petits» que proporciona accés a descripcions de grups d'ordre baix. Es llisten els grups llevat d'isomorfisme. Actualment[Quan?] aquesta llibreria conté els grups següents:[2]

  • Tots els grups d'ordre com a molt 2000, excepte en l'ordre 1024. Són 423.164.062 grups. Els d'ordre 1024 no apareixen: només comptant els 2-grups d'ordre 1024 no isomorfs n'hi ha 49.487.365.422.
  • Els d'un ordre lliure de cubs i com a molt 50.000. Són 395.703 grups.
  • Els d'un ordre lliure de quadrats.
  • Els d'ordre pn per a n fins a 6 i p un nombre primer.
  • Els d'ordre p7 per a p essent 3, 5, 7 o 11. Són 907.489 grups.
  • Els d'ordre qnp on qn divideix 28, 3⁶, 5⁵ o 74 i el nombre p és un primer arbitrari diferent de q.
  • Aquells l'ordre dels quals factoritza en tres primer com a molt.

Conté descripcions explícites dels grups disponibles en format ordinador.

Vegeu també

[modifica]

Enllaços externs

[modifica]
  • Pedersen, John. «Groups of small order» (en anglès). Arxivat de l'original el 2006-12-05. [Consulta: 14 febrer 2010].
  • Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, Eamonn. «The Small Groups library» (en anglès).
  • Hall, Jr., Marshall; Senior, James K. The Groups of Order 2n (n ≤ 6) (en anglès). Macmillan, 1964. «Un catàleg exhaustiu dels 340 grups amb ordre divisor de 64.» 

Referències

[modifica]
  1. Wild, Marcel «The Groups of Order Sixteen Made Easy» (en anglès). American Mathematical Monthly, 1-2005. Arxivat de l'original el 23 de setembre 2006 [Consulta: 14 febrer 2010]. Arxivat 23 de setembre 2006 a Wayback Machine.
  2. Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, Eamonn. «The Small Groups library» (en anglès). [Consulta: 14 febrer 2010].